Obwód szeregowy RLC

Każdy obwód, poza indukcyjność \( L \) oraz pojemność \( C \), ma także pewien opór \( R \), przykładowo jest to opór drutu, z którego nawinięto cewkę. Obecność oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielającego się ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do drgań tłumionych sprężyny opisanych w module Oscylator harmoniczny tłumiony, przy czym współczynnik tłumienia \( \beta = 1/(2\tau) \) jest równy \( R/2L \).
Drgania w obwodzie \( RLC \) można podtrzymać, jeżeli obwód będziemy zasilać zmienną SEM ze źródła zewnętrznego włączonego do obwodu na przykład tak, jak pokazano na Rys. 1.

: Obwód {OPENAGHMATHJAX()}RLC{OPENAGHMATHJAX} zawierający źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego

Rysunek 1: Obwód \( RLC \) zawierający źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego

Jeżeli obwód będziemy zasilać napięciem sinusoidalnie zmiennym

(1)

\( {U(t)=U_{{0}}{\sin}\mathit{\omega t} } \)

to prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego elementy \( R \), \( L \), \( C \) oraz źródło napięcia (SEM) ma postać

(2)

\( {L\frac{\mathit{dI}}{\mathit{dt}}+{RI}+\frac{Q}{C}=U_{{0}}{\sin}\mathit{\omega t} } \)

Różniczkując to wyrażenie obustronnie po \( dt \) i podstawiając \( I = dQ/dt \) otrzymujemy równanie

(3)

\( {L\frac{d^{{2}}I}{\mathit{dt}^{{2}}}+R\frac{\mathit{dI}}{\mathit{dt}}+\frac{I}{C}=\mathit{\omega U}_{{0}}{\cos}\mathit{\omega t}} \)

lub

(4)

\( {\frac{d^{{2}}I}{\mathit{dt}^{{2}}}+\frac{R}{L}\frac{\mathit{dI}}{\mathit{dt}}+\frac{I}{{LC}}=\frac{\mathit{\omega U}_{{0}}}{L}{\cos}\mathit{\omega t} } \)

Równanie to jest analogiczne do równania drgań wymuszonych (zob. moduł Drgania wymuszone i rezonans-( 5 ) ). Możemy więc skorzystać z uzyskanych poprzednio wyników. Z tej analogii wynika, że rozwiązaniem równania ( 4 ) jest funkcja

(5)

\( {I=I_{{0}}{\sin}(\mathit{\omega t}-\varphi )} \)

Różnica faz jaka istnieje między napięciem i natężeniem prądu jest dana równaniem

(6)

\( {{tg}\varphi =\frac{\mathit{\omega L}-\frac{1}{\mathit{\omega C}}}{R}} \)

a amplituda prądu \( I_{0} \) wynosi

(7)

\( {I_{{0}}=\frac{U_{{0}}}{\sqrt{R^{{2}}+\left(\mathit{\omega L}-\frac{1}{\mathit{\omega C}}\right)^{{2}}}} } \)

Zauważmy, że to wyrażenie ma postać (prawa Ohma) przy czym stała proporcjonalności pomiędzy \( U_0 \) i \( I_{0} \)

(8)

\( {Z=\sqrt{R^{{2}}+\left(\mathit{\omega L}-\frac{1}{\mathit{\omega C}}\right)^{{2}}}} \)

pełni analogiczną rolę jak opór \( R \) w prawie Ohma. Wielkość \( Z \) nazywamy zawadą obwodu.
Zauważmy, że gdy obwód zawiera tylko kondensator i źródło sinusoidalnie zmiennego napięcia to zawada jest równa

(9)

\( {Z=X_{{C}}=\frac{1}{\mathit{\omega C}}} \)

Tę wielkość nazywamy opornością pojemnościową lub reaktancją pojemnościową. W takim obwodzie różnica faz pomiędzy napięciem i natężeniem prądu wynosi \( \pi /2 \). Prąd "wyprzedza" napięcie na kondensatorze o \( \pi /2 \).
Natomiast gdyby obwód zawiera tylko cewkę i źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego, to zawada jest równa

(10)

\( {Z=X_{{L}}=\mathit{\omega L}} \)

Tę wielkość nazywamy opornością indukcyjną lub reaktancją indukcyjną. Ponownie między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, równa \( \pi /2 \), ale teraz prąd "pozostaje" za napięciem na cewce o \( \pi /2 \).
Zauważmy, że w obwodzie \( RLC \) mamy do czynienia z szeregowym połączeniem oporów omowego, pojemnościowego i indukcyjnego ( Rys. 1 ), a mimo to ich opór zastępczy (zawada) nie jest sumą algebraiczną tych oporów tak jak w przypadku łączenia szeregowego wielu oporów omowych. Ten fakt wynika ze wspomnianych przesunięć fazowych pomiędzy prądem i napięciem. Trzeba je uwzględnić przy dodawaniu napięć i w konsekwencji przy liczeniu zawady.
O obliczaniu zawady w obwodzie \( RLC \) możesz przeczytać w module Dodatek: Zawada w obwodzie RLC.

Zadanie 1: Obliczanie zawady obwodu \( RLC \)

Treść zadania:

Oblicz teraz zawadę obwodu złożonego z opornika \( R = 10 \Omega \), pojemności \( C = 1 p\text{F} \) oraz indukcyjności \( L = 3 \mu \text{H} \) połączonych szeregowo, jeżeli układ jest zasilany z generatora o częstotliwości \( f = 100 \text{ MHz} \). Jaka byłaby oporność układu, gdyby w obwodzie nie występowały reaktancje, a wyłącznie oporniki omowe o takich samych opornościach?
\( Z = \)
\( R_{omowy}= \)

Symulacja 1: Obwód szeregowy RLC

Pobierz symulację

Program pozwala śledzić przebiegi czasowe spadków napięć na poszczególnych elementach obwodu R, L, C oraz porównać je z napięciem zasilającym U(t) i prądem w obwodzie I(t). Parametry układu: R, L, C oraz częstotliwość napięcia wymuszającego f można zmieniać w zadanym zakresie. W szczególności można tak dobrać częstotliwość f napięcia zasilania lub częstotliwość własną obwodu (zamieniając L i C), aby zaobserwować zjawisko rezonansu napięć.

Autor: Zbigniew Kąkol, Jan Żukrowski

Fizyka

Obwód szeregowy RLC

Zadanie 1: Obliczanie zawady obwodu \( RLC \)

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Symulacja 1: Obwód szeregowy RLC

Temat:
Opis:
Typ:

Email: